Θεωρία σφαλμάτων
Στη φύση τίποτε δεν είναι απόλυτο αλλά όλα είναι σχετικά, έτσι και το αποτέλεσμα μίας μέτρησης είναι σχετικό. Εάν επαναλάβουμε τη μέτρηση ενός μεγέθους περισσότερες από μία φορές, δεν προκύπτει πάντοτε το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά αντίθετα αυτό μεταβάλλεται από μέτρηση σε μέτρηση.
Το φαινόμενο αυτό εξηγείται με δύο τρόπους:
- είτε δεν μετράμε πάντοτε το ίδιο μέγεθος
- είτε το αριθμητικό αποτέλεσμα της μέτρησης δεν αντιστοιχεί ακριβώς στο
μέγεθος που μετράμε, ενώ αυτό παραμένει το ίδιο
στην πραγματικότητα συμβαίνουν και τα δύο, αλλά κυρίως δεχόμαστε ότι υπάρχει μια διαφορά, ανάμεσα στην σταθερή "αληθινή" τιμή του μεγέθους που μετράμε και το μεταβαλλόμενο αριθμητικό αποτέλεσμα της μέτρησης.
Tη διαφορά αυτή ονομάζουμε σφάλμα:
σφάλμα = μέτρηση - αληθινή τιμή
Μια κλασική διαφοροποίηση των σφαλμάτων είναι ο διαχωρισμός τους σε τρία είδη: τα χονδροειδή σφάλματα, τα συστηματικά και τα τυχαία σφάλματα.
Τα χονδροειδή σφάλματα οφείλονται σε ανθρώπινα λάθη όπως η λανθασμένη σκόπευση με το γεωδαιτικό σταθμό, η λάθος σήμανση ή ο αναγραμματισμός του αριθμού του σημείου σκόπευσης.
Συστηματικά σφάλματα είναι σφάλματα που η τιμή τους παραμένει σταθερή ή είναι συνάρτηση του μεγέθους που μετράμε. Τέτοια σφάλματα είναι π.χ. τα σφάλματα που προκύπτουν από κακή οριζοντίωση ή τη μη ικανοποίηση των συνθηκών του θεοδόλιχου (καθετότητα αξόνων).
Τυχαία σφάλματα είναι εκείνα τα σφάλματα, που δεν μπορούν να χαρακτηρισθούν σαν χονδροειδή ή συστηματικά. Χαρακτηριστικό των τυχαίων σφαλμάτων είναι ότι οι τιμές τους είναι απρόβλεπτες, με την έννοια ότι κάτω από όμοιες φαινομενικά συνθήκες, μεταβάλλονται από μέτρηση σε μέτρηση.
Ενώ όμως κάθε τυχαίο σφάλμα ξεχωριστά έχει απρόβλεπτη συμπεριφορά, η συλλογική συμπεριφορά ενός αρκετού μεγάλου αριθμού από αυτά, μπορεί να προβλεφθεί και να περιγραφεί με την βοήθεια της έννοιας της πιθανότητας εμφάνισης και την καμπύλη της κανονικής κατανομής.
Ακρίβεια και αξιοπιστία των παρατηρήσεων
Το μέγεθος των σφαλμάτων χαρακτηρίζει και την ακρίβεια της μέτρησης (παρατήρησης). Η εσωτερική ακρίβεια σχετίζεται με πόσο κοντά είναι η μία μέτρηση με την άλλη και εξαρτάται από το μέγεθος των τυχαίων σφαλμάτων. Η εξωτερική ακρίβεια σχετίζεται με το πόσο κοντά στην αληθινή τιμή βρίσκονται οι επαναλαμβανόμενες μετρήσεις και εξαρτάται κατά κύριο λόγο από το μέγεθος των συστηματικών σφαλμάτων.
Όταν αναλύουμε τα δεδομένα των παρατηρήσεων, υποθέτουμε ότι αυτά είναι απαλλαγμένα από την επίδραση χονδροειδών και συστηματικών σφαλμάτων. Η υπόθεση αυτή είναι ρεαλιστική, όταν πριν από κάθε εργασία ακριβείας, έχει γίνει εργαστηριακός έλεγχος, με τη βαθμονόμηση των τοπογραφικών οργάνων και οι μετρήσεις γίνονται με μεγάλη προσοχή.
Τα συστηματικά και χονδροειδή σφάλματα επηρεάζουν την αξιοπιστία, ενώ τα τυχαία επηρεάζουν την ακρίβεια των αποτελεσμάτων της τοπογραφικής εργασίας.
Συνόρθωση παρατηρήσεων και
η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων (ΜΕΤ)
Η επίδραση των τυχαίων σφαλμάτων δεν μπορεί να απαλειφθεί, παρά μόνο να περιοριστεί, μέσα από μία διαδικασία που ονομάζεται συνόρθωση των παρατηρήσεων. Για την συνόρθωση των παρατηρήσεων πρέπει να εισάγουμε κάποιο κριτήριο, έτσι ώστε οι εκτιμήσεις των σφαλμάτων να είναι οι βέλτιστες.
Το κριτήριο της βέλτιστης εκτίμησης των τυχαίων σφαλμάτων, που χρησιμοποιείται ευρέως στην Τοπογραφία, τη Φωτογραμμετρία και σε άλλες επιστήμες, είναι το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων:
το άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων να είναι το ελάχιστο
η μαθηματική εφαρμογή του παραπάνω κριτηρίου είναι η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων (ΜΕΤ), η οποία επινοήθηκε το έτος 1826 από τον μαθηματικό
Carl Friedrich Gauss.
Η Μ.Ε.Τ στο λογισμικό VERM
Η Μ.Ε.Τ χρησιμοποιείται στις παρακάτω εφαρμογές του VERM:
• Συνόρθωση οριζόντιων και κατακόρυφων δικτύων
• Ανάλυση μικρομετακινήσεων
• Συνόρθωση της πολυγωνομετρίας ως δίκτυο (οριζοντιογραφικά και υψομετρικά)
• Υπολογισμό των παραμέτρων μετασχηματισμού συντεταγμένων (1D,2D,3D)
• Υπολογισμό βέλτιστης ευθείας και βέλτιστου κύκλου
• Υπολογισμό βέλτιστου γεωειδούς
• Ψηφιακή αναγωγή εικόνων
• Προσανατολισμό εικόνων με τη μέθοδο DLT
• Μετασχηματισμό εικονοσυντεταγμένων αναλογικών φωτογραφιών
• Εξωτερικό προσανατολισμό εικόνων κεντρικής προβολής
• Σχετικό προσανατολισμό στερεοζεύγους
• Προσανατολισμού Block εικόνων με τη Μέθοδο της Δέσμης
• Βαθμονόμηση Φωτομηχανών
• Ψηφιακή συσχέτιση εικόνων
• Φωτογραμμετρική εμπροσθοτομία
• Διάφορους υπολογισμούς στην Φωτογραμμετρία
Στο VERM έχουν αναπτυχθεί ειδικοί αλγόριθμοι για την ανεύρεση χονδροειδών σφαλμάτων στις μετρήσεις (πριν γίνει η συνόρθωση) και για τον εντοπισμό λανθασμένων δεδομένων στον υπολογισμό των αγνώστων παραμέτρων, που περιγράφουν το μαθηματικό μοντέλο, του εκάστοτε τοπογραφικού ή φωτογραμμετρικού προβλήματος.